電化學(xué)阻抗譜數(shù)學(xué)理論（EIS-Math）

1 技術(shù)理論

阻抗的定義是衡量電路在施加交流電通過(guò)時(shí)困難程度。它類似于歐姆定律，但與歐姆定律不同的是，阻抗可以根據(jù)施加電位或電流頻率的函數(shù)而變化。

在EIS實(shí)驗(yàn)中，如果施加的信號(hào)是電位而測(cè)量的結(jié)果是電流，則稱為“恒電位EIS”。當(dāng)施加的信號(hào)是電流而測(cè)量的結(jié)果是電位時(shí)，它被稱為“恒流EIS”。對(duì)于恒電位EIS，施加電位的形式如式1所示:

其中為潛在的正弦波幅度，為角頻率，為時(shí)間，項(xiàng)表示波形的相位。如果足夠小，使得系統(tǒng)是線性的，則生成的電流波形也是正弦的，并且與輸入信號(hào)具有相同的頻率;但也可能發(fā)生相移，如式2所示:

其中為當(dāng)前正弦波幅度，為相位角位移。 需要對(duì)施加的和產(chǎn)生的波形(公式1和2)進(jìn)行更方便的數(shù)學(xué)重排，以清楚顯示測(cè)量的阻抗。這是通過(guò)歐拉公式使用復(fù)數(shù)坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，歐拉公式定義為:

其中表示虛單位(不是傳統(tǒng)的符號(hào)，以防止與表示電流的符號(hào)混淆)，是任何實(shí)數(shù)。將代入類似于式1和式2形式的角度，其中為任意給定的相位角位移，所有項(xiàng)乘以給定的恒定振幅，則式3重新排列如下:

方程4的右邊是一個(gè)復(fù)數(shù)，而左邊只包含一個(gè)實(shí)數(shù)。因此通過(guò)等同方程兩邊的實(shí)部，得到以下表達(dá)式:

其中是數(shù)字的實(shí)部。等式5右邊的第二項(xiàng)被消除了，因?yàn)樗翘摂?shù)，并且運(yùn)算符從左邊被刪除，因?yàn)閷?shí)數(shù)的余弦值也是實(shí)數(shù):

方程6進(jìn)一步簡(jiǎn)化如下:

其中是所有定常項(xiàng)的集合，相當(dāng)于以下內(nèi)容:

利用式7，分別將式1和式2中所示的外加電位和響應(yīng)輸出電流波形改寫(xiě)為:

其中定不因時(shí)間變化的常量和等價(jià)于:

阻抗有效性的一個(gè)條件是穩(wěn)定性(即穩(wěn)態(tài)或定常)。

因此，根據(jù)公式9至12，阻抗表達(dá)式類似于歐姆定律如下:

將式11和式12代入式13可得:

式中為阻抗幅度，等價(jià)于。利用歐拉公式(式3)，最終將式14展開(kāi)為:

這種數(shù)學(xué)上的重新排列允許分別計(jì)算阻抗的實(shí)部，相當(dāng)于和虛部相當(dāng)于

在EIS實(shí)驗(yàn)中，大多數(shù)商業(yè)軟件包自動(dòng)對(duì)每個(gè)頻率的輸入和輸出信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，以提取和的相應(yīng)值。然后將這些值與公式15一起用于計(jì)算和。因此，典型EIS實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是一個(gè)包含五列的數(shù)據(jù)表: 、、、和。

2 參考文獻(xiàn)

NON